Robotlar için Lineer Cebir
VECTORS (VEKTÖRLER)
-
Yönü ve büyüklüğü olan doğru parçası
-
Sayılar dizisi
-
n boyutlu uzaylarda bir noktayı temsil ederler.

x=[1 2 3 4]; y=[5 6 7 8];
Scalar Product (Skaler Çarpım)
-
Skaler-vektör çarpım; “k.a”
-
Vektörün sadece uzunluğunu değiştirir,yönünü değil

>> x=[1 2 3 4];
>> k=2;
>> k*x
2468
Sum (Toplam)
-
Vektörlerde toplama işlemi;

-
Bunu zincirleme veya ucuca ekleme olarak görselleştirebiliriz.

>> x=[4 5 2];
>> y=[1 2 6];
>> x+y
ans =
5 7 8
Dot Product (Nokta Çarpım)
-
Vektörlerde iç çarpım (inner product);

x=[4 5 2];
y=[1 2 6];
dot(x,y)
ans =
26
-
V iç çarpım ve x, y ?V olsun. Eğer = 0 ise x ve y ye ortogonal (dik) vektörler denir.
-
İki vektör arasındaki açı, ifadesinde cos ? = 0 ise x , y ortogonal vektörler, cos ? = ± 1 yani = ± || x|| || y|| ise x ve y vektörleri paralel vektörlerdir.
>> y=[1 2 6];
>> norm(y)
ans =
6.4031
Linear (In)Dependence (Lineer Bağımlılık)
-
b lineer doğrusal vektör olarak tanımlansın;

-
Başka bir deyişle, b vektörü ailerin k skaleriyle çarpımlarının toplamları şeklinde ifade edilebilir.
-
Eğer ki ler yoksa b , ai ye lineer bağımlı değildir.

MATRICES (MATRİSLER)
-
Matrisler değer tablosu olarak yazılırlar, birçok kullanım şekilleri vardır.

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Matrices as Collections of Vectors
Kolon Vektörleri (Column Vektors)

Satır Vektörleri (Row Vectors)

Matrices Operations ( Matris İşlemleri)
-
Sum (commutative, associative)
-
Product (not commutative)
-
Inversion (square, full rank)
-
Transposition
-
Multiplication by a scalar
-
Multiplication by a vector
Matrix Vector Product (Matris Vektör Çarpım)
-
Nokta çarpımında A.b nin bileşeni “i” olmak üzere ;
-
A.b vektörü bi katsayıları ile a*iye lineer bağımlıdır.

-
Eğer kolon vektörleri referans sistemi temsil ediyorsa, A.b çarpımı b vektörünün a*i ye göre küresel dönüşümünü hesaplar.

-
Her ai,j doğrusal bir karıştırma katsayısı olarak görülebilir, bu (A.b)j ye nasıl katkıda bulunduğunu gösterir.
-
Örneğin; çok boyutlu fonksiyonların Jakobiyenti

Matrix Matrix Product (Matris-Matris Çarpım)
Şu şekillerde tanımlanabilir;
-
Satır ve sütun vektörlerinin noktasal çarpımı
-
A ve B sütun vektörlerinin skalerleri ile lineer kombinasyonu

-
İkinci yorumu incelediğimizde C sütunlarının B sütunlarından A ya kadar izdüşümleri olduğunu görürüz.
-
Matrisler için yapılan tüm yorumlar vektör çarpımına dayanır.

>> A=[2 4 3;2 1 1 ;4 6 5];
>> B=[2 1 5;-3 -2 1;0 4 -2];
>> A*B
ans =
-8 6 8
1 4 9
-10 12 16
Linear Systems (Lineer Sistemler)

-
b Ax dönüşümünün bir sonucu iken x koordinatları A referans sisteminde bulunur.
-
Birçok çözüm yöntemi bulunur.
-
Sistem alttan veya üstten sınırlandırılmalıdır.
-
Bir (A’ b’) matrisini göz önüne alarak ve lineer olarak bağımlı tüm satırları bastırarak azaltılmış bir (A b) sistemini elde edebilirsiniz.
-
A’ nın lineer bağımsız sütunlarının veya satırlarının sayısı b’ nin boyutundan büyükse sistem üstten sınırlıdır.
-
Üstten sınırlı bir sistemde çözüm bulunamaz ancak pseudo inversion çözümü bulunabilir.

-
A’ nın lineer bağımsız sütünlarının veya satırlarının sayısı b’ nin boyutundan küçükse sistem alttan sınırlıdır.
-
Alttan sınırlı sistemler sınırsız çözüm kabul eder.Sonsuzluğun derecesi rank(A’)-dim(b’)
-
Bir matrisin rankı lineer bağımsız satır veya sütunların maksimumudur.
Matrix Inversion (Ters Matris)

-
A full ranklı bir kare matris ise yukarıdaki denklemin geçerli olduğu şekilde tek bir B=A-1 matrisi vardır.
-
A nın i. satırı ve A-1 nın j. sütunları;
i=j ise ortogonal
diğer durumlarda skaler çarpım 1 dir.
-
A-1 in i. sütunu aşağıdaki sistemin çözümü ile bulunabilir;

>> A=[2 3;5 1];
>> rank(A)
ans =
2
>> B=inv(A)
B =
-0.0769 0.2308
0.3846 -0.1538
>> C=A*B
C =
1.0000 0
-0.0000 1.0000
Trace (İz)
-
Sadece kare matrislerde tanımlıdır.
-
Köşegen elemanlarının toplamı ;

-
Aşağıdaki özelliklere sahip lineer bir operatördür;
Additivity:

Homogeneity:

Pairwise commutative:

Trace is similarity invariant:

Trace is transpose invariant

A=[2 -3 5;1 2 7;-1 0 1];
trace(A)
ans =
5
Rank
-
Lineer bağımsız satır veya sütunların maksimum sayısı.
-
f(x)=Ax dönüşüm görüntüsünün boyutu
-
A, mxn matrisi iken;
-rank(A)>=0 ve eşitlik sağlanır ancak ve ancak A sıfır matristir.
-rank(A)> a=[2 4 4;2 3 1;3 2 5]; >> rank(a) ans = 3
Determinant
-
Sadece kare matrislerde tanımlıdır.
-
Hatırlayın, det(A)=0 olmadığı durumlar için AxA-1=I idi.
-
2×2 lik matris için A=[aij ] için;

-
3×3 lük matris için;

-
mxn genel matris için;
A matrisinin i. satır ve j. sütununa sahip Aij altmatrisini alalım.

3×3 lük matris için determinantı yeniden yazalım;

nxn lik matris için yazalım;

-
Cij=(-1)i+jdet(Aij) kofaktörünü (cofactor) alalım;

bu işleme ilk satır için kofaktör açılımı (cofactor expansion) denir.
>> A=[2 -3 5;1 2 7;-1 0 1];
>> det(A)
ans =
38
problem: 25×25 lik bir matris alalım. Kofaktör açılımı n! tane çarpım gerektirir. n=25 için bu 1.5×1025 çarpımdır ve bunu modern bilgisayarlar 500.000 yılda alır .
-
Birçok hızlı metod vardır, Gauss elimination ile matrisi üçgensel hale indirgeyebiliriz.Buradan;

Çünkü üçgen matrisler için determinant, diyagonal elemanların çarpımıdır.
>> a=[2 4 4;2 3 1;3 2 5];
>> diag(a)
ans =
2
3
5
Determinant Özellikleri;
-
Satır İşlemleri: (A nxn kare matris)
-Eğer B, A matrisinin iki satırının değiştirilmesinden oluşuyorsa det(B)=-det(A) dır.
-Eğer B, A matrisinin bir satırının c sabit sayısıyla çarpımından oluşuyorsa det(B)=c.det(A) dır.
-Eğer B, A matrisinin bir satırının diğer satırıyla toplamından veya çarpımından oluşuyorsa det(B)=det(A) dır.
-
Transpoz: det(A)=det(AT)
-
Çarpım: det(A.B)=det(A).det(B)
Determinant Uygulamaları;
-
Ters matris bulma: (A-1) ters matris , adj(A) adjugate (ek) matis olmak üzere) A-1=adj(A)/det(A)
-
Özdeğerler: Karakteristik polinom bulma, det(A- ? .I)=0
-
Alan ve Hacim: alan=det(A)

>> A=[1 2 3;2 4 -5;3 -5 6];
>> eig(A)
ans =
-3.0773
3.8414
10.2359
Orthogonal Matrix (Ortogonal Matris)
-
Bir Q matrisi satır veya sütunlarının ortonormal bazı ile ifade edilebiliyorsa ortogonal matris dir.

-
Lineer dönüşüm olarak, norm korunur ve öklid uzayında bir izometri (isometry) görevi görür.(yansıma-reflection ve dönüşüm-rotation)
-
Bazı özellikler;
Q.QT=QT.Q=I
1=det(I)=det(QQT)=det(Q).det(QT)=det(Q)2
Rotational Matrix (Dönüşüm Matrisi)
-
Robotikte önemli;
-
2D rotasyon:
-

–3D rotasyon:





-
Rotasyon değişmeli değildir!
Matrices as Affine Transformations (Afin Dönüşümler Olarak Matrisler)
-
Bir 3D dönüşüm matrislerle kolay ve hızlı bir şekilde tanımlanabilir.

-
2D ve 3D de homojen davranım
-
Dönüşümlerin değişimli olmadığını doğal olarak hesaba katar.
Combining Transformations (Dönüşümleri Birleştirme)
-
Basit bir yorum olarak; (homojen matrislerle ifade edilir) dönüşümlerin zincirlenmesi
-
A matrisi robotun uzaydaki pozu,
-
B matrisi sensörün robot üzerindeki konumunu temsil etsin,
-
Sensör belirli bir p konumunda nesneyi kendi çerçevesinde algılar,(sensörün yeri hakkında ipucu yok)
-
Nesne küresel çerçevede nerededir?
-



Symmetric Matrix (Simetrik Matris)
-
A=AT ise A matrisi simetriktir.
-
A=-AT ise A matrisi simetrik değildir.
-
Her simetrik matris;
-
D=QAQT kosegenlestirilebilir, burada D ozdegelerin bir kosegen matrisidir ve Q, sutunlari A’nin ozvektorleri olan bir ortogonal matristir
-
Karesel formda tanımı;
-

>> A=[5 7 1;2 -8 -3;6 4 8;1 1 10];
>> A'
ans =
5 2 6 1
7 -8 4 1
1 -3 8 10
Simetrik matris için;
>> A=[1 2 3;2 4 -5;3 -5 6]
A =
1 2 3
2 4 -5
3 -5 6
>> A'
ans =
1 2 3
2 4 -5
3 -5 6
Positive Definite Matrix (Pozitif Tanımlı Matris)
Tanım:

örnek:

-
ÖZELLİKLERİ;
-
Tersi alınabilir.
-
Tüm özdeğerleri sıfırdan büyüktür.
-
İzi sıfırdan büyüktür.
-
A, A.AT , AT.A pozitif tanımlıdır.
-
Cholesky decomposition A=LLT
-
Jacobian Matrix (Jakobiyen Matris)
-
mxn lik karesel olmayan matristir.
-
f(x) bir fonksiyon ve

-
Gradiyent vektörün birinci dereceden kısmi türevini alalım;

-
Buradan jakobiyen matris şu şekilde tanımlanır:

-
Verilen bir noktada vektör değeri teğet düzleme yönelimlidir.

-
Skaler değerli fonksiyonların gradyentini genelleştirir.
-
Çoğunlukla birinci dereceden hata yayılımında kullanılır.

Quadratic Forms
-
Birçok fonksiyon kuadratik form kullanılarak yerel yakınlaştırılabilir;

-
Genellikle tek bir kuadratik formun maksimum yada minimumu bulunur.

-
Bu minimizasyon problemine bir çözüm üretmek için matris özelliklerini nasıl kullanabiliriz?
-
f(x)=0
-
Matris çarpımının tanımını kullanarak, f ‘;

-
f(x) in minimum değeri türevinin 0 olduğu yerdir;

-
Böylece sistemi çözebiliriz;

-
Matris simetrik ise sistem bu hale gelir;
